Question

设函数f（x）=x³-3ax²+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11）．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性．

Answer

（Ⅰ）函数在切点处的导数值为切线斜率，切点在切线上，列方程解．
（Ⅱ）导函数大于0对应区间是单调递增区间；导函数小于0对应区间是单调递减区间．
【解析】
（Ⅰ）求导得f′（x）=3x2-6ax+3b．
由于f（x）的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），
所以f（1）=-11，f′（1）=-12，即：
1-3a+3b=-11解得：a=1，b=-3．
3-6a+3b=-12
（Ⅱ）由a=1，b=-3得：f′（x）=3x2-6ax+3b=3（x2-2x-3）=3（x+1）（x-3）
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞3；
又令f′（x）＜0，解得-1＜x＜3．
故当x∈（-∞，-1）时，f（x）是增函数，
当x∈（3，+∞）时，f（x）也是增函数，
但当x∈（-1，3）时，f（x）是减函数．