Question

如图，边长为1的正方形ABCD中，点E是AB的中点，点F是BC的中点，将△AED、△DCF分别沿DE、DF折起，使A、C两点重合于点A₁．

（1）求证：A₁D⊥EF；
（2）求三棱锥A₁-DEF的体积．

Answer

（1）由正方形ABCD知∠DCF=∠DAE=90°，得A1D⊥A1F且A1D⊥A1E，所以A1D⊥平面A1EF．结合EF⊂平面A1EF，得A1D⊥EF；
（2）由勾股定理的逆定理，得△A1EF是以EF为斜边的直角三角形，而A1D是三棱锥D-A1EF的高线，可以算出三棱锥D-A1EF的体积，即为三棱锥A1-DEF的体积．
【解析】
（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，
∴A1D⊥A1F，A1D⊥A1E，
∵A1E∩A1F=A1，A1E、A1F⊆平面A1EF．
∴A1D⊥平面A1EF．
又∵EF⊂平面A1EF，
∴A1D⊥EF．
（2）∵A1F=A1E=，EF=
∴A1F2+A1E2==EF2，得A1E⊥A1F，
∴△A1EF的面积为，
∵A1D⊥平面A1EF．
∴A1D是三棱锥D-A1EF的底面A1EF上的高线，
因此，三棱锥A1-DEF的体积为：．