Question

若正整数，则称a₁×a₂×…×a_n为N的一个“分解积”．
（Ⅰ）当N分别等于6，7，8时，写出N的一个分解积，使其值最大；
（Ⅱ）当正整数N（N≥2）的分解积最大时，证明：中2的个数不超过2；
（Ⅲ）对任意给定的正整数N（N≥2），求出a_k（k=1，2，…，n），使得N的分解积最大．

Answer

（I）将6，7，8分别进行分解，然后写出它们的一个分解积，使其值最大即可；
（II）由（Ⅰ）可知，ak（k=1，2，…，n）中可以有2个2，当ak（k=1，2，…，n）有3个或3个以上的2时，可举反例说明，从而证得结论；
（Ⅲ）讨论ak（k=1，2，…，n）中有1，有2，有4的个数，以及有大于4的数，从而得到ak（k=1，2，…，n）中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个，从而可得ak（k=1，2，…，n），使得N的分解积最大．
【解析】
（Ⅰ）6=3+3，分解积的最大值为3×3=9；                  …（1分）
7=3+2+2=3+4，分解积的最大值为3×2×2=3×4=12；  …（2分）
8=3+3+2，分解积的最大值为3×3×2=18．               …（3分）
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知，ak（k=1，2，…，n）中可以有2个2．       …（4分）
当ak（k=1，2，…，n）有3个或3个以上的2时，
因为2+2+2=3+3，且2×2×2＜3×3，
所以，此时分解积不是最大的．
因此，中至多有2个2．                          …（7分）
（Ⅲ）【解析】
①当ak（k=1，2，…，n）中有1时，
因为1+ai=（ai+1），且1×ai＜ai+1，
所以，此时分解积不是最大，可以将1加到其他加数中，使得分解积变大．…（8分）
②由（Ⅱ）可知，ak（k=1，2，…，n）中至多有2个2．
③当ak（k=1，2，…，n）中有4时，
若将4分解为1+3，由 ①可知分解积不会最大；
若将4分解为2+2，则分解积相同；
若有两个4，因为4+4=3+3+2，且4×4＜3×3×2，所以将4+4改写为3+3+2，使得分解积更大．
因此，ak（k=1，2，…，n）中至多有1个4，而且可以写成2+2． …（10分）
④当ak（k=1，2，…，n）中有大于4的数时，不妨设ai＞4，
因为ai＜2（ai-2），
所以将ai分解为2+（ai-2）会使得分解积更大．              …（11分）
综上所述，ak（k=1，2，…，n）中只能出现2或3或4，且2不能超过2个，4不能超过1个．
于是，当N=3m（m∈N*）时，使得分解积最大； …（12分）
当N=3m+1（m∈N*）时，使得分解积最大；                …（13分）
当N=3m+2（m∈N）时，使得分解积最大．…（14分）