Question

等差数列{a_n}的各项均为正数，a₁=1，前n项和为S_n；{b_n}为等比数列，b₁=1，且b₂S₂=6，b₃S₃=24，n∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）令，T_n=C₁+C₂+C₃+…+C_n；
①求T_n；
②当n≥3时，证明：4（n+2）T_n＞15（n+1）．

Answer

（Ⅰ）设{an}的公差为d（d＞0），{bn}的公比为q，则利用b2S2=6，b3S3=24，可建立方程组，从而可求数列的公差与公比，从而可得数列{an}和{bn}的通项公式；
（II）由（I）知，
①是一个典型的错位相减法模型，.是一个典型的裂项求和法模型，由此可得结论；
②证明当n≥3时，≥=-，即可证得结论．
（Ⅰ）【解析】
设{an}的公差为d（d＞0），{bn}的公比为q，则，
依题意有，∴或（舍去）
解得，故an=n，（n∈N*）
（II）【解析】
由（I）知，
①是一个典型的错位相减法模型，.是一个典型的裂项求和法模型，=．
②证明：当n≥3时，≥=-
∴≥
∴4Tn≥=＞=
∴当n≥3时，4（n+2）Tn＞15（n+1）．