Question

已知椭圆的左、右焦点分别为F₁，F₂，若以F₂为圆心，b-c为半径作圆F₂，过椭圆上一点P作此圆的切线，切点为T，且|PT|的最小值不小于．
（1）求椭圆的离心率e的取值范围；
（2）设椭圆的短半轴长为1，圆F₂与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为k（k＞0）的直线l与椭圆相交于A，B两点，若OA⊥OB，求直线l被圆F₂截得的弦长的最大值．

Answer

（1）可设且显得的长，当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，进而求得|PF2|的最小值，进而判断出，求得e的范围．
（2）依题意求得Q点坐标，设出直线方程，与椭圆方程联立消去y，设A（x1，y1），B（x2，y2），进而表示出x1+x2和x1x2，代入直线方程求得y1y2的表达式和x1•x2+y1•y2，进而根据OA⊥OB，判断出=0求得k和a的关系，表示出圆心到直线度的距离，根据（1）中e的范围确定c的范围，进而确定S的范围，则其最大值可求．
【解析】
（1）依题意设切线长，
∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，而|PF2|min=a-c，
∴，∴，从而解得，
故离心率e的取值范围是；
（2）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=k（x-1），
联立方程组，得（a2k2+1）x2-2a2k2x+a2k2-a2=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有，，
代入直线方程得y1y2=k2[x1x2-（x1+x2）+1]=，，
又OA⊥OB，∴，∴，∴，∴k=a，直线的方程为ax-y-a=0，
圆心F2（c，0）到直线l的距离，
由图象可知，
∴，∴，
∴，
所以．