Question

已知曲线C：y=4^x，C_n：y=4^x+n（n∈N^*），从C上的点Q_n（x_n，y_n）作x轴的垂线，交C_n于点P_n，再从点P_n作y轴的垂线，交C于点Q_n+1（x_n+1，y_n+1），设x₁=1，a_n=x_n+1-x_n，b_n=
（1）求数列{x_n}的通项公式；
（2）记c_n=，数列{c_n}的前n项和为S_n，试比较S_n与的大小（n∈N^*）；
（3）记d_n=，数列{d_n}的前n项和为T_n，试证明：（2n-1）•d_n≤T_2n-1≤×[1-]．

Answer

（1）依题意点Pn的坐标为（xn，yn+1），然后根据yn+1==可得xn+1=xn+n，然后根据累加法可求出数列{xn}的通项公式；
（2）先判定S1，S2，S3是否满足条件，然后利用放缩法可知当n＞3时，Sn=+++…+＜++++…+，然后利用等比数列求和可证得结论；
（3）根据dn=可知dn+1＜，T2n-1=d1+d2+…+d2n-1≤++…+=×[1-]，当n≥2，k=1，2，…，2n-1时，有dk+d2n-k≥×=2dn，从而T2n-1≥×（2n-1）×2dn=（2n-1）×dn，从而证得结论．
【解析】
（1）依题意点Pn的坐标为（xn，yn+1），
∴yn+1==，∴xn+1=xn+n，（2分）
∴xn=xn-1+n-1=xn-2+（n-2）+（n-1）=…=x1+1+2+…+（n-1）=+1；（4分）
（2）∵cn=，由S1=1＜，S2=1+=＜，S3=1++=＜，
∴当n＞3时，Sn=+++…+＜++++…+
=1++×=+-＜+-=（8分）
（3）∵dn=，所以易证：dn+1＜，
∴当n≥2时，dn＜＜＜…＜=，
∴T2n-1=d1+d2+…+d2n-1≤++…+=×[1-]，（当n=1时取“=”）（11分）
另一方面，当n≥2，k=1，2，…，2n-1时，有：
dk+d2n-k=×[]≥×2
==，
又∵4k+42n-k≥2×4n，∴42n-4k-42n-k+1≤42n-2×4n+1=（4n-1）2，
∴dk+d2n-k≥×=2dn，
T2n-1≥×（2n-1）×2dn=（2n-1）×dn．
所以对任意的n∈N*，都有：（2n-1）•dn≤T2n-1≤×[1-]（14分）