Question

如图，△ABC是⊙O的内接三角形，PA是⊙O的切线，PB交AC于点E，交⊙O于点D．若PA=PE，∠ABC=60°，PD=1，PB=9，则PA=    ；EC=    ．

Answer

利用切割线定理结合题中所给数据，得PA=3，由弦切角定理结合有一个角为60°的等腰三角形是正三角形，得到PE=AE=3，最后由相交弦定理可得BE•DE=AE•CE，从而求出EC的长．
【解析】
∵PA是圆O的切线，
∴PA2=PD•PB=9，可得PA=3
∵∠PAC是弦切角，夹弧ADC
∴∠PAC=∠ABC=60°，
∵△ADE中，PE=PA，
∴△APE是正三角形，可得PE=AE=PA=3
∴BE=PB-PE=6，DE=PE-PD=2
∵圆O中，弦AC、BD相交于E，
∴BE•DE=AE•CE，可得6×2=3EC，EC=4
故答案为：3，4