Question

已知函数f（x）=x²+bx+1是R上的偶函数，则实数b=    ；不等式f（x-1）＜|x|的解集为    ．

Answer

根据偶函数的定义，得f（-x）=f（x）对任意的x∈R都成立，代入表达式并结合比较系数，可得b=0；由此可得f（x）=x2+1，不等式f（x-1）＜|x|即：x2-2x+2＜|x|，再通过讨论正负化简，得关于x的不等式组，解之可得原不等式的解集．
【解析】
∵函数f（x）=x2+bx+1是R上的偶函数，
∴f（-x）=f（x）对任意的x∈R都成立，
即（-x）2-bx+1=x2+bx+1，比较系数得b=0；
因此f（x）=x2+1，得f（x-1）=（x-1）2+1=x2-2x+2，
不等式f（x-1）＜|x|即：x2-2x+2＜|x|
化简得或
解之，得1＜x＜2，原不等式的解集为（1，2）
故答案为：0    （1，2）