Question

若或1，i=1，2，…，n），则称A_n为0和1的一个n位排列．对于A_n，将排列记为R¹（A_n）；将排列记为R²（A_n）；依此类推，直至Rⁿ（A_n）=A_n．对于排列A_n和Rⁱ（A_n）（i=1，2，…，n-1），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做A_n和Rⁱ（A_n）的相关值，记作．例如，则，．若，则称A_n为最佳排列．
（Ⅰ）写出所有的最佳排列A₃；
（Ⅱ）证明：不存在最佳排列A₅；
（Ⅲ）若某个A_2k+1（k是正整数）为最佳排列，求排列A_2k+1中1的个数．

Answer

（Ⅰ）根据最佳排列的定义可得，最佳排列A3为 ，，，，，．
（Ⅱ）由 ，可得|a1-a5|，|a2-a1|，|a3-a2|，|a4-a3|，|a5-a4|之中有2个0，3个1，而a5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A5，使得．
（Ⅲ） A2k+1与每个Ri（A2k+1）有k个对应位置数码相同，有k+1个对应位置数码不同，设a1，a2，…，a2k，a2k+1中有x个0，y个1，则S=2xy，可得，解得或，从而得出结论．
（Ⅰ）【解析】
最佳排列A3为 ，，，，，．     …（3分）
（Ⅱ）证明：设，则，
因为 ，所以|a1-a5|，|a2-a1|，|a3-a2|，|a4-a3|，|a5-a4|之中有2个0，3个1．
按a5→a1→a2→a3→a4→a5的顺序研究数码变化，由上述分析可知有2次数码不发生改变，有3次数码发生了改变．
但是a5经过奇数次数码改变不能回到自身，所以不存在A5，使得，
从而不存在最佳排列A5． …（7分）
（Ⅲ）【解析】
由或1，i=1，2，…，2k+1），得，，
…，．
因为 ，
所以 A2k+1与每个Ri（A2k+1）有k个对应位置数码相同，有k+1个对应位置数码不同，
因此有|a1-a2k+1|+|a2-a1|+…+|a2k-a2k-1|+|a2k+1-a2k|=k+1，|a1-a2k|+|a2-a2k+1|+…+|a2k-a2k-2|+|a2k+1-a2k-1|=k+1，
…，|a1-a3|+|a2-a4|+…+|a2k-a1|+|a2k+1-a2|=k+1，|a1-a2|+|a2-a3|+…+|a2k-a2k+1|+|a2k+1-a1|=k+1．
以上各式求和得，S=（k+1）×2k．   …（10分）
另一方面，S还可以这样求和：设a1，a2，…，a2k，a2k+1中有x个0，y个1，则S=2xy．…（11分）
所以解得或，
所以排列A2k+1中1的个数是k或k+1．   …（13分）