Question

函数f（x）的定义域为M，若存在闭区间[a，b]⊆M，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[2a，2b]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”．下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
①f（x）=x²（x≥0）；    ②f（x）=e^x-1（x∈R）；
③；  ④．
A．①②③④
B．①③
C．①③④
D．①②④

Answer

由新概念“倍值区间”的定义可以看出：若区间[a，b]为y=f（x）的“倍值区间”，除了a，b满足定义中的①②两个条件外，a，b必是方程f（x）=2x的两个不同解．
①易知：函数f（x）=x2在x≥0时单调递增，令x2=2x，解得x=0或2，经验证区间[0，2]是函数f（x）=x2的倍值区间；
②易知函数单调递增，令ex-1=2x，再令g（x）=ex-2x-1，求导得g（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故在x=ln2时g（x）取得最小值g（ln2）=2-1-2ln2=1-ln4＜0，又g（2）=e22-5＞0，g（1）=e-3＜0，所以ex-1=2x有两解0与b，其中b满足1＜b＜2且eb-2b-=0，满足题意；
③由=0或1，并且函数在[0，1]上单调递增，满足题意；
④，则在a＞1时，区间满足题意．
【解析】
①由二次函数的单调性知道：函数f（x）=x2在x≥0时单调递增，令x2=2x，解得x=0或2，f（x）在区间[0，2]上的值域为[0，4]．
由此可知：区间[0，2]是函数f（x）=x2的倍值区间．
②由于函数y=ex在R上单调递增，所以f（x）=ex-1在R上单调递增．
令ex-1=2x，再令g（x）=ex-2x-1，求导得g′（x）=ex-2，令ex-2=0，解得x=ln2．
经判断得到：g（x）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故在x=ln2时，g（x）取得最小值g（ln2）=2-1-2ln2=1-ln4＜0，
又g（2）=e2-5＞0，g（1）=e-3＜0，所以ex-1=2x有两解0与b，其中b满足1＜b＜2且eb-2b-1=0．
可知：f（0）=0，f（b）=2b，满足题意，所以区间[0，b]是函数f（x）=ex-1的倍值区间．
③由解得x=0或1；又当0≤x≤1时，≤0，所以函数f（x）在区间[0，1]上单调递减，所以区间[0，1]是函数f（x）的倍值区间．
④要使函数f（x）有意义，则满足，取a＞1，令，则，解得．
由于函数y=logax在x＞0时单调递增，所以当a＞1时，函数f（x）在区间上单调递增，所以区间是函数f（x）的倍值区间．
综上可知①②③④皆正确．
故选A．