Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．
（Ⅰ）若tanA=k•tanB，求k的值；
（Ⅱ）求tan（A-B）的最大值，并判断当tan（A-B）取最大值时△ABC的形状．

Answer

（Ⅰ）利用正弦定理化简已知的等式，变形后再利用诱导公式及两角和与差的正弦函数公式化简，整理后利用同角三角函数间的基本关系得出tanA=3tanB，由tanA=ktanB，得出k的值为3；
（Ⅱ）由tanA=3tanB，设tanA=t（t＞0），得到tanB=3t，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（A-B），将设出的tanA及tanB代入，整理后利用基本不等式变形求出tan（A-B）的最大值，以及此时t的值，确定出tanA和tanB的值，利用特殊角的三角函数值确定出A和B的度数，利用三角形的内角和定理求出C的度数，即可判断出三角形的形状．
【解析】
（Ⅰ）将cosB-cosA=cos=利用正弦定理化简得：
cosB-cosA=，即2sinAcosB-2sinBcosA=sinC，
又sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B），
∴2sinAcosB-2sinBcosA=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，
整理得：sinAcosB=3sinBcosA，
∴tanA=3tanB，又tanA=ktanB，
则k=3；
（Ⅱ）设tanB=t（t＞0），则tanA=3t，
∵+3t≥2（当且仅当=3t，即t=时取等号），
∴tan（A-B）====≤，
∴tanB=t=，tanA=3t=，
∴B=，A=，
则C=，即△ABC为直角三角形．