Question

若各项都是实数的数列从第二项起，每一项与它前一项的平方差是同一常数，则称该数列为等方差数列，这个常数叫这个数列的公方差．
（Ⅰ）若数列{a_n}是等差数列，前n项和为T_n，并且，求通项a_n；
（Ⅱ）若数列{a_n}是首项为2，公方差为2的等方差数列，数列{b_n}的前n项和为S_n，且．对∀n∈N^*恒成立，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用，根据新定义，可求通项an；
（Ⅱ）由{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列，即为首项为4，公差为2的等差数列，从而可求数列{bn}的前n项和为Sn，从而不等式即3•2n-（n+3）＞m•2n-4n-4，分离参数可得恒成立，利用归纳法，可求m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）
∴an[an-（2n-1）]=0
∴an=2n-1，或an=0…（4分）
（Ⅱ）由{an}是首项为2，公方差为2的等方差数列，即为首项为4，公差为2的等差数列，
∴…（6分）
由得
∴①；②
①-②可得
∴…（9分）
不等式即3•2n-（n+3）＞m•2n-4n-4
也即（m-3）•2n＜3n+1，即需要恒成立
由于n=1，2，3时，3n+1＞2n；n=4时，3n+1＜2n；
假设n=k（k≥4）时，3k+1＜2k，
那么2k+1=2•2k＞2（3k+1）=3（k+1）+1+（3k-2）＞3（k+1）+1，
归纳知：n≥4时，3k+1＜2k，，∴m-3≤0，
故m的取值范围为m≤3…（13分）