Question

已知椭圆的离心率，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）圆x²+y²=1的一条切线l与椭圆C相交于A，B两点，问是否存在上述直线l使成立？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer

（Ⅰ）由，得a2=4c2，再由c2=a2-b2，解得a=b，利用连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，即可求得椭圆的方程；
（Ⅱ）假设存在直线l满足条件
①当直线l的斜率不存在时，则方程为x=±1，可得不成立；
②斜率存在时，假设方程为y=kx+m，由直线与圆相切可得m2=1+k2，直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量的数量积运算，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）由，得a2=4c2，再由c2=a2-b2，解得a=b①．
由连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为，可知2ab=4②．
①②可得a=2，b=．
所以椭圆的方程为．
（Ⅱ）假设存在直线l满足条件
①当直线l的斜率不存在时，则方程为x=±1
当方程为x=1时，直线l与椭圆的交点为A（1，），B（1，-），则
同理方程为x=1时，也不成立；
②斜率存在时，假设方程为y=kx+m，由直线与圆相切可得m2=1+k2，
直线方程代入椭圆方程，消去y，可得（3+4k2）x2+8kmx+4m2-12=0
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-，x1x2=
∴y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=
∴=x1x2+y1y2=+=＜0
综上所述，直线l不存在．