Question

已知数列{a_n}、{b_n}满足：a₁=1，a₂=a（a为常数），且b_n=a_n•a_n+1（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）若{a_n}是等比数列，求数列{b_n}和前n项和S_n；
（Ⅱ）当{b_n}是等比数列时，甲同学说：{a_n}一定是等比数列； 乙 同学说：{a_n}一定不是等比数列，请你对甲、乙两人的判断正确与否作出解释．

Answer

（Ⅰ）由条件求得 b1=a1•a2=a，再由，根据等比数列求和公式求出Sn的值．
（Ⅱ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：设{bn}的公比为q，则，且a≠0，{an}为：1，a，q，aq，q2，aq2，…，当q=a2时，{an}是等比数列； 当q≠a2时，{an}不是等比数列．
【解析】
（Ⅰ）∵{an}是等比数列，a1=1，a2=a，∴，又bn=an•an+1，
∴b1=a1•a2=a，，-----（3分）
即{bn}是以a为首项，a2为公比的等比数列．
∴．----（5分）
（Ⅱ）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：
设{bn}的公比为q，则，且a≠0．-------（8分）
又a1=1，a2=a，a1，a3，a5，…，a2n-1，…是以1为首项，q为公比的等比数列，
a2，a4，a6，…，a2n，…是以a为首项，q为公比的等比数列，
即{an}为：1，a，q，aq，q2，aq2，…，
所以当q=a2时，{an}是等比数列； 当q≠a2时，{an}不是等比数列．--------（12分）