Question

已知函数．
（Ⅰ）若函数f（x）有三个零点x₁，x₂，x₃，且，x₂x₃=6，，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若，3a＞2c＞2b，求证：导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若导函数f'（x）的两个零点之间的距离不小于，求的取值范围．

Answer

（I）因为，因为x2，x3是方程的两根，使用根与系数的关系，再由，求出b、a、c 的值，得到f（x）的 解析式及f'（x）的解析式，由f'（x）＜0求出减区间．
（Ⅱ） 求出，f'（0）=c，f'（2）=a-c，当c＞0时 f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点，当c≤0时，f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
（Ⅲ）设m，n是导函数f'（x）=ax2+bx+c的两个零点，由|m-n|≥，及 3a＞2c＞2b，a＞0 求出的取值范围．
【解析】
（I）因为，又，则．
因为x2，x3是方程的两根，则，．即b=-3a，c=2a．
又，即，所以，，即a=1，从而b=-3，c=2．
所以，．  因为f'（x）=x2-3x+2，由x2-3x+2＜0，得1＜x＜2．
故f（x）的单调递减区间是（1，2），单调递增区间是（-∞，1），（2+∞）．
（Ⅱ）因为f'（x）=ax2+bx+c，，所以，即3a+2b+2c=0．
因为3a＞2c＞2b，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0，b＜0．
于是，f'（0）=c，f'（2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．
（1）当c＞0时，因为，则f'（x）在区间（0，1）内至少有一个零点．
（2）当c≤0时，因为，则f'（x）在区间（1，2）内至少有一零点．
故导函数f'（x）在区间（0，2）内至少有一个零点．
（Ⅲ）设m，n是导函数f'（x）=ax2+bx+c的两个零点，则，．
所以．
由已知，，则，即．
所以，即或．
又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以，3a＞-3a-2b＞2b，即 ．
因为a＞0，所以．
综上分析，的取值范围是．