Question

已知f（x）=x³+bx²+cx+d（b，c，d∈R）
命题p：y=f（x）是R上的单调函数；
命题q：y=f（x）的图象与x轴恰有一个交点；
则p是q的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件

Answer

利用导函数判定函数的单调性，说明函数与x轴的交点以及极值的存在性关系，推出两个命题的充要条件关系．
【解析】
已知f（x）=x3+bx2+cx+d（b，c，d∈R）
所以f′（x）=3x2+2bx+c（b，c∈R）．
命题p：y=f（x）是R上的单调函数，此时函数没有极值，是单调增函数或单调减函数，
所以，y=f（x）的图象与x轴恰有一个交点．
所以命题p：y=f（x）是R上的单调函数是命题q：y=f（x）的图象与x轴恰有一个交点的充分条件．
反之命题q：y=f（x）的图象与x轴恰有一个交点但是函数可以有极值，函数在R上不是单调函数，
所以p是q充分不必要条件．
故选A．