Question

已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面为正三角形，侧面A₁ACC₁为菱形，∠A₁AC=60°，且平面A₁ACC₁⊥平面ABC，M是C₁C的中点．
（1）求证：A₁C⊥BM；
（2）求二面角B-A₁A-C的正切值．

Answer

（1）证明A1C⊥BM，只需证明线面垂直，即证A1C⊥面BPM；
（2）作PQ⊥A1A于Q，连接BQ，证明∠BQP为二面角B-A1A-C的平面角，再求正切值即可．
（1）证明：取AC中点P，则BP⊥AC
∵平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC=AC，
∴BP⊥平面A1ACC1，
∵A1C⊂平面A1ACC1，∴A1C⊥BP
∵A1C⊥AC1，AC1∥PM
∴A1C⊥PM
∵BP∩PM=P
∴A1C⊥面BPM
∵BM⊂面BPM
∴A1C⊥BM；
（2）【解析】
作PQ⊥A1A于Q，连接BQ
∵BP⊥平面A1ACC1，∴A1A⊥BP
∵BP∩PQ=P，∴A1A⊥面BPQ
∵BQ⊂面BPQ，∴A1A⊥BQ
∴∠BQP为二面角B-A1A-C的平面角
斜三棱柱ABC-A1B1C1的底面为正三角形，侧面A1ACC1为菱形，∠A1AC=60°，设AC=2，则BP=，PQ=
∴tan∠BQP==2．