Question

已知函数f（x）=ax²-2x+lnx．
（Ⅰ）若f（x）无极值点，但其导函数f'（x）有零点，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）有两个极值点，求a的取值范围，并证明f（x）的极小值小于．

Answer

（Ⅰ）首先，x＞0利用f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故△=0．由此可得即可；
（Ⅱ）先由题意，2ax2-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，解得：，再设2ax2-2x+1=0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，利用导数研究函数f（x）的极值点，从而得出证明．
解 （Ⅰ）首先，x＞0
f′（x）有零点而f（x）无极值点，表明该零点左右f′（x）同号，故a≠0，且2ax2-2x+1=0的△=0．由此可得
（Ⅱ）由题意，2ax2-2x+1=0有两不同的正根，故△＞0，a＞0．
解得：
设2ax2-2x+1=0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，
因为在区间（0，x1），（x2，+∞）上，f′（x）＞0，
而在区间（x1，x2）上，f′（x）＜0，故x2是f（x）的极小值点．
因f（x）在区间（x1，x2）上f（x）是减函数，如能证明，则更有
由韦达定理，，
令，其中设，
利用导数容易证明g（t）当t＞1时单调递减，而g（1）=0，
∴g（t）=lnt- t+＜0，
因此f（）＜-，
从而有f（x）的极小值f（x2）＜-．