Question

已知点A（m，4）（m＞0）在抛物线x²=4y上，过点A作倾斜角互补的两条直线l₁和l₂，且l₁，l₂与抛物线另一个交点分别为B、C．
（I）求证：直线BC的斜率为定值；
（II）若抛物线上存在两点关于直线BC对称，求|BC|的取值范围．

Answer

（I）根据点A（m，4）（m＞0）在抛物线x2=4y上，确定A的坐标，设B（x1，y1），C（x2，y2），利用kAB+kAC=0，，即可得解；
（II）设直线BC的方程为y=-2x+b，P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线BC对称，确定PQ中点M的坐标，利用M在抛物线内部，确定b的范围，进一步计算|BC|，即可得到结论．
（I）证明：∵点A（m，4）（m＞0）在抛物线x2=4y上，∴m=4
设B（x1，y1），C（x2，y2），则kAB+kAC=+=0
∴x1+x2=-8
∴=-2
∴直线BC的斜率为定值-2；
（II）【解析】
设直线BC的方程为y=-2x+b，P（x3，y3），Q（x4，y4）关于直线BC对称，
设PQ中点M（x，y），则==，
∴x=1，故M（1，-2+b）
∵M在抛物线内部，
∴-2+b＞，解得b＞
y=-2x+b代入抛物线可得x2+8x-4b=0，
∴x3+x4=-8，x3x4=-4b
∴|BC|==＞10
∴|BC|的取值范围为（10，+∞）．