Question

已知函数f（x）=ax³+bx²+x+3，其中a＞0，
（Ⅰ）当a、b满足什么关系时，f（x）存在极值；
（Ⅱ）f（x）在区间（0，1]上单调递增，试用a表示b的取值范围．

Answer

（Ⅰ）要取得极值，导函数为0的方程恰有两个不同的解，利用判别式，即可求得结论；
（Ⅱ）f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax2+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立，分离参数，可得b≥在（0，1]上恒成立，所以b≥，分类讨论，确定函数的最值即可用a表示b的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由已知得f′（x）=ax2+2bx+1，令f′（x）=0，得ax2+2bx+1=0，
要取得极值，方程ax2+2bx+1=0恰有两个不同的解，
所以△=4b2-4a＞0，即b2＞a，
综上，当a，b满足b2＞a时，f（x）取得极值．
（Ⅱ）f（x）在区间（0，1]上单调递增，需使f′（x）=ax2+2bx+1≥0在（0，1]上恒成立．
即b≥在（0，1]上恒成立，所以b≥
当a＞1时，，当时，是单调增函数；
当时，是单调减函数，
所以当时，取得最大，最大值为，所以b≥
当0＜a≤1时，，所以在区间（0，1]上单调递增，当x=1时g（x）最大，最大值为g（1）=-，所以b≥
综上，当a＞1时，b≥； 当0＜a≤1时，b≥．