Question

已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的三视图如图所示
（1）求此三棱柱的体积和表面积；
（2）画出此三棱柱，并证明：AC₁⊥AB₁．

Answer

（1）根据俯视图，可算出底面△ABC的AC长和AC边上的高，而三棱柱的高为a，求出底面积再用柱体积公式，可得它的体积．再根据它的底面三角形和三个侧面矩形的形状，不难求出它的表面积．
（2）△ABC中，利用平方关系可得AB⊥BC，结合侧面AA1B1B⊥平面ABC得BC⊥侧面AA1B1B，从而BC⊥AB1，而正方形AA1B1B中AB1⊥A1B，所以AB1⊥平面A1BC，可得AC1⊥AB1．
【解析】
（1）直三棱柱ABC-A1B1C1中，
底面△ABC中，AB=BC=a，底边AC上高为a
可得AC=a
因此，三棱柱ABC-A1B1C1的体积为V=S△ABC×A1A=×a×a×a=a3，
表面积为为S表=a×a+2×a×a+×a×a×2=（3+）a2．
（2）连接A1B，根据题意知四边形AA1B1B是正方形
∴AB1⊥A1B
∵△ABC中，AB2+BC2=2a2=AC2，
∴AB⊥BC
又∵侧面AA1B1B⊥平面ABC，侧面AA1B1B∩平面ABC=AB
∴BC⊥侧面AA1B1B
∵AB1⊂侧面AA1B1B，∴BC⊥AB1，
∵A1B、BC是平面A1BC内的相交直线
∴AB1⊥平面A1BC
∵A1C⊂平面A1BC，
∴AC1⊥AB1．