Question

已知抛物线y=-x²+2引抛物线的切线l，使l与两坐标轴在第一象限围成三角形的面积最小，求l的方程．

Answer

设切点P（x，-x2+2）（x＞0），由导数的几何意义l的方程为y-（-x2+2）=-2x（x-x）．利用直线可求三角形的边长，从而可求S，利用求导可求S的极值，进而可求S的最值，从而可求直线的方程
【解析】
设切点P（x，-x2+2）（x＞0），
由y=-x2+2得y′=-2x，
∴k1=-2x．
∴l的方程为y-（-x2+2）=-2x（x-x）．（4分）
令y=0，得x=
令x=0，得y=x2+2，
∴三角形的面积为
S==
∴
令S′=0，得x=（∵x＞0），
∴当0＜x＜时，S′＜0；
当x＞时，S′＞0．
∴时，S取极小值．
∵只有一个极值，
∴x=时S最小，此时k1=-，切点为（，）．
∴l的方程为y-=-（x-），
即2x+3y-8=0