Question

已知数列{a_n}，{b_n}，满足条件a_n+1=2a_n+k（k≠0），b_n=a_n+1-a_n≠0．
（1）求证：数列{b_n}是等比数列；
（2）若k=a₁=1，求数列{a_n}，{b_n}的通项公式．

Answer

（1）由∵an+1=2an+k（k≠0），可得an=2an-1+k，两式相减可得an+1-an=2（an-an-1），可证
（2）由（1）及已知可求bn，结合已知bn=an+1-an≠0可得，利用叠加可求an
（1）证明：∵an+1=2an+k（k≠0），
∴an=2an-1+k
∴an+1-an=2（an-an-1）
∵bn=an+1-an≠0．
∴bn=2bn-1
∴数列{bn}是以2为公比的等比数列
（2）【解析】
∵k=a1=1，
∴a2=2a1+1=3
∴b1=a2-a1=2
由（1）可得数列{bn}是以2为公比，以2为首项的等比数列
∴
即
∴a2-a1=2

…

以上n-1个式子相加可得，an-a1=2+22+23+…+2n-1==2n-2
∴