Question

设函数f（x）=x-ax²+blnx，曲线y=f（x）在M（1，f（1））处的切线方程为2x-y-2=0．
（1）试求a，b的值及函数y=f（x）的单调区间；
（2）证明：f（x）≤2x-2．

Answer

（1）求导函数，利用曲线y=f（x）在M（1，f（1））处的切线方程为2x-y-2=0，可得f（1）=0，f′（1）=2，由此可求a，b的值，利用导数的正负可确定函数y=f（x）的单调区间；
（2）构造函数g（x）=f（x）-2x+2，求导函数，确定函数的单调区间，从而可得函数g（x）的最大值，故可得证．
（1）【解析】
求导函数可得f′（x）=1-2ax+（x＞0）
∵曲线y=f（x）在M（1，f（1））处的切线方程为2x-y-2=0．
∴f（1）=0，f′（1）=2
∴1-a=0，1-2a+b=2
∴a=1，b=3
∴f′（x）=1-2x+=
令f′（x）＞0，∵x＞0，∴x＜，∴0＜x＜，令f′（x）＜0，∵x＞0，∴x＞，
∴函数的单调增区间为（0，），单调减区间为（，+∞）；
（2）证明：构造函数g（x）=f（x）-2x+2，则g′（x）=-1-2x+=（x＞0）
令g′（x）＞0，∵x＞0，0＜x＜1，令g′（x）＜0，∵x＞0，∴x＞1，
∴函数的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；
∴x=1时，函数g（x）取得最大值为f（1）=0
∴g（x）≤0
∴f（x）≤2x-2．