Question

已知△ABC的面积为2，角A，B，C的对边分别为a，b，c，•=4．
（1）求角A；
（2）求的最大值．

Answer

（1）利用三角形的面积公式表示出三角形ABC的面积，将已知的面积代入得到一个关系式，记作①，利用平面向量的数量积运算法则化简•=4，得到另一个关系式，记作②，①÷②，利用同角三角函数间的基本关系弦化切，求出tanA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）法1：由A的度数，求出B+C的度数，用B表示出C，利用正弦定理化简所求的式子，将sinA的值代入，并将表示出的C代入，整理后利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的图象与性质求出正弦函数的最大值，即为所求式子的最大值；
法2：由A的度数得出cosA的值，利用余弦定理得到a2=b2+c2-2bccosA，将cosA的值代入并利用完全平方公式变形，再利用基本不等式化简，变形后求出所求式子的范围，即可得到所求式子的最大值．
【解析】
（1）∵△ABC的面积为2，•=4，
∴bcsinA=2①，bccosA=4②，
①÷②得：tanA=，
又A为三角形的内角，
则A=；
（2）法1：∵A=，∴B+C=，即C=-B，
∴根据正弦定理得：===[sinB+sin（-B）]
=（cosB+sinB）=sin（B+），
∵0＜B＜，∴＜B+＜，
∴当B+=，即B=时，sin（B+）取得最大值1，
则的最大值是1；
法2：∵cosA=，
∴由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-3（）2=（b+c）2，
整理得：（）2≤1，即≤1，
则当b=c时，最大值是1．