Question

已知无穷数列{a_n}中，a₁，a₂，…，a_n是首项为10，公差为-2的等差数列；a_n+1，a_n+2，…，a_2n是首项为，公比为的等比数列（m≥3，m∈N^*），并对任意n∈N^*，均有a_n+2n=a_n成立．
（1）当m=12时，求a₂₀₁₂；
（2）若a₅₂=，试求m的值；
（3）判断是否存在m，使S_128m+3≥2012成立，若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）由题意，an+24=an，可得a2012=a20，从而a20是首项为，公比为的等比数列的第8项，可求a2012；
（2）先确定m≥7，利用a52=，，可得（2k+1）m=45，进而分类讨论，即可求m的值；
（3）先计算S128m+3，再将S128m+3≥2012等价变形，从而可得704m-64m2≥1924+64×，确定左右两边的最值，即可得到结论．
【解析】
（1）由题意，an+24=an，∴a2012=a20，
∴a20是首项为，公比为的等比数列的第8项，
∴a2012=
（2）∵，∴m≥7
∵a52=，
∴2km+m+7=（2k+1）m+7=52，其中m≥7，m∈N，k∈N
∴（2k+1）m=45，
当k=0时，m=45，成立；当k=1时，m=15，成立；当k=2时，m=9成立；当k≥3时，m≤＜7
∴m可取9、15、45；
（3）S128m+3=64S2m+a1+a2+a3=64{10m++}+10+8+6
∴S128m+3=704m-64m2+88-64×≥2012
∴704m-64m2≥1924+64×
设f（m）=704m-64m2，g（m）=1924+64×，g（m）＞1924；
f（m）=-64（m2-11m），对称轴m=，
所以f（m）在m=5或6时取最大f（x）max=f（5）=f（6）=1920，
因为1924＞1920，所以不存在这样的m．