Question

（A）（不等式选做题）
若关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，则实数a的取值范围是    ．
（B）（几何证明选做题）
如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为    ．
（C）（坐标系与参数方程选做题） 
在已知极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，则实数a=    ．

Answer

（A）由题意可得，|x+1|+|x-2|的最小值等于3，|a|≥3，由此求得 a的值．
（B）根据半圆的三等分点，得到三个弧对应的角度是60°，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形的有关长度，做出要求的线段的长度．
（C）把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，根据直线和圆相切，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离等于半径，从而求得a的值．
【解析】
（A）由于关于x的不等式|a|≥|x+1|+|x-2|存在实数解，而|x+1|+|x-2|表示数轴上的x对应点到-1和2对应点的距离之和，其最小值等于3，
∴|a|≥3，解得 a≥3，或 a≤-3，
故答案为 （-∞，-3]∪[3，+∞）．
（B）∵A，E是半圆周上的两个三等分点，∴弧EC是一个60°的弧，∴∠EBC=30°，则CE=2，连接BA，则BA=2，
∴在含有30°角的直角三角形中，BD=1，DT=，AD=，∴AF=，
故答案为 ．
（C）∵圆ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即（x-1）2+y2=1，表示以（1，0）为圆心，半径等于1的圆．
直线 3ρcosθ+4ρsinθ+a=0 即3x+4y+a=0，直线和圆相切，∴=1，解得a=2或-8，
故答案为：2或-8．