Question

已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．一个圆心为M，半径为的圆在△ABC内，沿着△ABC的边滚动一周回到原位．在滚动过程中，圆M至少与△ABC的一边相切，则点M到△ABC顶点的最短距离是    ，点M的运动轨迹的周长是    ．

Answer

由题意，当圆与AC，BC都相切时，M到C的距离最小；设点M的运动轨迹的周长为C，则点M的运动轨迹是一直角三角形，且与△ABC相似，由此可得结论．
【解析】
由题意，当圆与AC，BC都相切时，M到C的距离最小，因为圆的半径为，∠C=90°，所以MC=
设点M的运动轨迹的周长为C，则点M的运动轨迹是一直角三角形，且与△ABC相似，如图，
sin∠B=sin∠B1DE=
∴B1D=，∴B1C1=4--=
∴，∴C=10
故答案为：，10．