Question

已知函数．
（Ⅰ）若，求sin2α的值；
（II）设，求函数g（x）在区间上的最大值和最小值．

Answer

（I）根据函数f（x）表达式，结合两角差的余弦公式化简整理，得．再将两边平方，结合同角三角函数平方关系和二倍角的正弦公式，可得sin2α的值；
（II）将f（x）表达式代入，利用两角和与差的余弦公式展开，并用二倍角的余弦公式化简整理，得g（x）=cos2x．最后结合余弦函数的图象与性质，可得到函数g（x）在区间上的最大值和最小值．
【解析】
（Ⅰ）∵，
∴，得 ．
两边平方得，sin2α+2sinαcosα+cos2α=，
即1+sin2α=，可得．…（6分）
（II）=
=
==．…（10分）
当时，．
所以，当x=0时，g（x）的最大值为；当时，g（x）的最小值为．
即函数g（x）在区间上的最大值为g（0）=，最小值为g（）=-．…（13分）