Question

若函数y=f（x）的图象与y=ln（x-1）+1（x＞1）的图象关于直线y=x对称，且f（1）=a+b，则2^a+2^b的最小值是（ ）
A．1
B．
C．2
D．4

Answer

由题意可得f（x）是y=ln（x-1）+1（x＞1）的反函数，求出f（x）的解析式，可得a+b=2，再利用基本不等式求出2a+2b的最小值．
【解析】
函数y=f（x）的图象与y=ln（x-1）+1（x＞1）的图象关于直线y=x对称，故f（x）是y=ln（x-1）+1（x＞1）的反函数．
由y=ln（x-1）+1（x＞1）可得 x=ey-1+1，故y=ln（x-1）+1（x＞1）的反函数为 y=ex-1+1，故 f（x）=ex-1+1．
由f（1）=a+b=2，可得 2a+2b ≥2 =2 =4，当且仅当 a=b=1时，等号成立，
故选D．