Question

已知函数f（x）=2sinxcosx+2cos²x-1．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（II）求函数f（x）在区间[-，0]上的最大值和最小值．

Answer

（Ⅰ）根据三角函数的恒等变换化简函数f（x）的解析式为 sin（2x+），由此求得它的最小正周期．
（Ⅱ） 因为 x∈[-，0]时，2x+∈[-，]，再利用正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）在区间[-，0]上的最大值和最小值．
【解析】
（Ⅰ）∵函数f（x）=2sinxcosx+2cos2x-1=sin2x+cos2x=sin（2x+），…（3分）
所以 f（x） 的最小正周期为 π．      …（6分）
（Ⅱ） 因为 x∈[-，0]时，2x+∈[-，]，
所以当 2x+=，即 x=0 时，sin（2x+）=，所以f（x）取得最大值1．
当  2x+=-，即 x=-时，所以f（x）取得最小值-． …（13分）