Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面为正三角形，AA₁⊥平面ABC，且AA₁=AB=3，D 是BC的中点．
（I）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（II）求证：平面ADC₁⊥平面DCC₁；
（III）在侧棱CC₁上是否存在一点E，使得三棱锥C-ADE的体积是，若存在，求CE长；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）连接A1C交AC1于点O，连接OD．可得DO为△A1BC中位线，A1B∥OD，结合线面平行的判定定理，得A1B∥平面ADC1．
（II）由CC1⊥平面ABC，得CC1⊥AD．正三角形ABC中，中线AD⊥BC，结合线面垂直的判定定理，得AD⊥平面DCC1，最后由面面垂直的判定定理，证出平面ADC1⊥平面DCC1．
（III）假设在侧棱CC1上存在一点E且CE=m，满足三棱锥C-ADE体积是，利用△CDE作为底、AD为高，得三棱锥A-CDE的体积，即为三棱锥C-ADE的体积，建立等式即可解出m的值，所以在侧棱CC1上存在点E，使三棱锥C-ADE的体积是．
【解析】
（Ⅰ）连接A1C交AC1于点O，连接OD．
∵三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，
∴四边形ACC1A1为矩形，可得点O为A1C的中点．
∵D为BC中点，得DO为△A1BC中位线，
∴A1B∥OD．
∵OD⊆平面ADC1，A1B⊈平面ADC1，
∴A1B∥平面ADC1．…（4分）
（Ⅱ）∵底面ABC正三角形，D是BC的中点
∴AD⊥CD
∵CC1⊥平面ABC，AD⊆平面ABC，∴CC1⊥AD．
∵CC1∩CD=C，∴AD⊥平面DCC1，
∵AD⊆平面ADC1，∴平面ADC1⊥平面DCC1．…（9分）
（Ⅲ）假设在侧棱CC1上存在一点E，使三棱锥C-ADE的体积是，设CE=m
∵三棱锥C-ADE的体积VC-ADE=VA-CDE
∴××CD×CE×AD=，得×××m×=．
∴m=，即CE=
∴在侧棱CC1上存在一点E，当CE=时，三棱锥C-ADE的体积是．…（14分）