Question

已知椭圆C：（a＞b＞0）的离心率为，且短轴的一个端点到左焦点F的距离是，经过点F且不垂直于x轴的直线l交椭圆C于A，B两点．点O为坐标原点．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）在线段OF上存在点M（m，0）（点M不与点O，F重合），使得以MA，MB为邻边的平行四边形MANB是菱形，求m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用短轴的一个端点到左焦点点F的距离是，离心率为，可求椭圆几何量，从而可得椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0）代入椭圆方程，消去y可得一元二次方程，利用以MA，MB为邻边的平行四边形MANB是菱形，可得，从而可得，由此可得m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）因为短轴的一个端点到左焦点点F的距离是，离心率为，
所以a=，c=1        
所以b2=a2-c2=1
所以椭圆C的标准方程是                  …（4分）
（Ⅱ）因为直线l与x轴不垂直，且交椭圆C于A，B两点，所以设直线l的方程为y=k（x+1）（k≠0）
代入椭圆方程，消去y可得（1+2k2）x2+4k2x+2k2-2=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=
因为以MA，MB为邻边的平行四边形MANB是菱形，所以．
所以（x1+x2-2m，y1+y2）•（x2-x1，y2-y1）=0
因为x1≠x2，
所以（x1+x2-2m）+k2（x2+x1+2）=0．
所以（-2m）+k2（+2）=0．
所以．
因为k≠0，所以．
所以m的取值范围是．…（14分）