Question

对于数列{a_n}，从第二项起，每一项与它前一项的差依次组成等比数列，称该等比数列为数列{a_n}的“差等比数列”，记为数列{b_n}．设数列{b_n}的首项b₁=2，公比为q（q为常数）．
（I）若q=2，写出一个数列{a_n}的前4项；
（II）a₁与q满足什么条件，数列{a_n}是等比数列，并证明你的结论；
（III）若a₁=1，数列{a_n+c_n}是公差为q的等差数列，且c₁=q，求数列{c_n}的通项公式；并证明当1＜q＜2时，c₅＜-2q²．

Answer

（Ⅰ）根据数列{bn}是等比数列，且b1=2，q=2，可得b2=4，b3=8，由此可求个数列{an}的前4项；
（Ⅱ）先确定a2=a1+2，a3=a1+2+2q，根据数列{an}是等比数列，即可求出公比；
（Ⅲ）先确定cn-cn-1=q-2qn-2，再利用叠加法，即可求数列{cn}的通项公式，从而可证明1＜q＜2时，c5＜-2q2．
【解析】
（Ⅰ）因为数列{bn}是等比数列，且b1=2，q=2，所以b2=4，b3=8，
所以a1=1，a2=3，a3=1，a15=15．（写出满足条件的一组即可）…（2分）
（Ⅱ）因为数列{bn}是等比数列，首项b1=2，公比为q，，所以b2=2q，b3=2q2，
所以a2=a1+2，a3=a1+2+2q．
因为数列{an}是等比数列，
所以，即（a1+2）2=a1×（a1+2+2q）
所以．
所以当时，数列{an}是等比数列．…（5分）
（Ⅲ）因为{an+cn}是公差为q的等差数列，所以（an+cn）-（an-1+cn-1）=q
∵an-an-1=2qn-2，
∴cn-cn-1=q-2qn-2，
∴cn=c1+（c2-c1）+…+（cn-cn-1）=nq-2（qn-2+2qn-3+…+q+1）=nq-
∴c5=5q-=-2q3-2q2+3q-2
∴c5-（-2q2）=2q（1-q2）+（q-2）．
∵1＜q＜2，∴1-q2＜0，q-2＜0．
∴c5-（-2q2）＜0
∴c5＜-2q2．                        …（13分）