Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，过A₁、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A₁C₁D₁，且这个几何体的体积为10．
（1）求棱A₁A的长；
（2）求此几何体的表面积，并画出此几何体的主视图和俯视图（写出各顶点字母）．

Answer

（1）设长方体的高AA1=h，根据长方体体积公式和锥体体积公式列方程，解之即可得到AA1=3．
（2）根据题意，可得该几何体的表面由三个长方形和四个三角形组成，分别求出各长方形和三角形的面积，相加即得此几何体的表面积，再根据三视图的定义可作出它的主视图和俯视图．
【解析】
（1）设长方体的高AA1=h，则该几何体体积为
--------------------2'
即，解得：h=3，即AA1=3-----------------------6’
（2）根据题意，可得该几何体的表面由三个长方形和四个三角形组成，
SAA1D1D=SC1D1DC=2×3=6，SABCD=2×2=4，
S△A1AB=S△BC1C=×2×3=3，S△A1D1C1=×2×2=2，
在△A1BC1中，A1B===BC1，A1C1==2
∴cos∠A1BC1==，
可得sin∠A1BC1==
所以S△A1BC1=×××=
由此可得该几何体的表面积为：
S表=SAA1D1D+SC1D1DC+SABCD+S△A1AB+S△BC1C+S△A1D1C1+S△A1BC1=24+---------------------------10'
几何体的主视图和俯视图如右图所示（主视图和俯视图分别为2分）．---------------------------14'