Question

已知函数，a∈R，．
（1）当a=-2时，求f（x）的最大值；
（2）设g（x）=[f（x）+lnx]•x²，k是g（x）图象上不同的两点的连线的斜率，是否存在实数a，使得k＜1恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）当a=-2时，求导函数，确定f（x）在区间上单调递减，从而可求f（x）的最大值；
（2）存在符合条件．
解法一：据题意存在，分离参数，可得结论；
解法二：据题意存在=，分离参数，可得结论．
【解析】
f（x）的定义域为，…（2分）
（1）当a=-2时，在，，…（4分）
所以f（x）在区间上单调递减，…（6分）
故．                                …（7分）
（2）存在符合条件．
解法一：据题意在y=g（x）=[f（x）+lnx]•x2=ax3-x图象上总可以找到一点P（x，y）使以p为切点的切线平行图象上的任意两点的连线，…（9分）
即存在恒成立，…（12分）
因为，所以，所以=…（14分）
故存在符合条件．                               …（15分）
解法二：g（x）=[f（x）+lnx]•x2=ax3-x，不妨设任意不同两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）其中x1＜x2，则=…（10分）
由于k＜1恒成立，则k＜恒成立，知恒成立…（12分）
因为，所以，故，…（14分）
故存在符合条件．                           …（15分）