Question

已知等差数列{a_n}的公差d大于0，且a₂、a₅是方程x²-12x+27=0的两根．数列{b_n}的前n项和为T_n，满足T_n=2-b_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{a_n}的前n项和为S_n，记c_n=（S_n-λ）•b_n（λ∈R，n∈N^*）．若c₆为数列{c_n}中的最大项，求实数λ的取值范围．

Answer

（Ⅰ）根据a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根，可得a2+a5=12，a2a5=27，结合d＞0，可得数列{an}的通项公式；利用Tn=2-bn，再写一式，两式相减，可得数列{bn}的通项公式；
（Ⅱ）根据cn=（Sn-λ）•bn，确定表达式，利用c6为数列{cn}中的最大项，即可求实数λ的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）∵a2、a5是方程x2-12x+27=0的两根
∴a2+a5=12，a2a5=27，
∵d＞0，∴a2=3，a5=9，
∴，
∴an=2n-1（n∈N*）
在已知Tn=2-bn中，令n=1，得b1=1
当n≥2时，Tn=2-bn，Tn-1=2-bn-1，两式相减得，bn=bn-1-bn，
∴，
∴
（Ⅱ）∵，则
当n≥2时，=
∴c6为数列{cn}中的最大项，
∴有n≥7时，cn-cn-1≤0，
∴λ≤23，n≤6时，cn-cn-1≥0，
∴λ≥14
∴14≤λ≤23．