Question

如果两个椭圆的离心率相等，那么就称这两个椭圆相似．已知椭圆C与椭圆相似，且椭圆C的一个短轴端点是抛物线的焦点．
（Ⅰ）试求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆E的中心在原点，对称轴在坐标轴上，直线l：y=kx+t（k≠0，t≠0）与椭圆C交于A，B两点，且与椭圆E交于H，K两点．若线段AB与线段HK的中点重合，试判断椭圆C与椭圆E是否为相似椭圆？并证明你的判断．

Answer

（Ⅰ）求出椭圆的离心率，抛物线的焦点坐标，设椭圆C的方程，即可求得椭圆的几何量，从而可求椭圆C的标准方；
（Ⅱ）解法一：椭圆C与椭圆E是相似椭圆．联立椭圆C和直线l的方程，利用韦达定理，根据弦AB的中点与弦HK的中点重合，建立方程，从而可得椭圆E的离心率，即可得到结论；
解法二：设椭圆E的方程，根据A，B在椭圆C上，设点的坐标，代入两式相减并恒等变形得斜率，同理由H，K在椭圆E上，得斜率，利用弦AB的中点与弦HK的中点重合，建立方程，从而可得椭圆E的离心率，即可得到结论．
【解析】
（Ⅰ）由题意，椭圆的离心率为，抛物线的焦点为（0，1）．…（2分）
设椭圆C的方程为，
由题意，得：，解得，
∴椭圆C的标准方程为 ．…（5分）
（Ⅱ）解法一：椭圆C与椭圆E是相似椭圆．…（6分）
联立椭圆C和直线l的方程，，消去y，得（1+2k2）x2+4ktx+2t2-8=0，…（7分）
设A，B的横坐标分别为x1，x2，则．…（8分）
设椭圆E的方程为，…（9分）
联立方程组，消去y，得（n2+m2k2）x2+2ktm2x+m2（t2-n2）=0，
设H，K的横坐标分别为x3，x4，则．…（10分）
∵弦AB的中点与弦HK的中点重合，…（11分）
∴x1+x2=x3+x4，∴=，
∵k≠0，t≠0，∴化简得m2=2n2，…（12分）
求得椭圆E的离心率，…（13分）
∴椭圆C与椭圆E是相似椭圆．
解法二：设椭圆E的方程为，并设A（x1，y1），B（x2，y2），H（x3，y3），K（x4，y4）．
∵A，B在椭圆C上，
∴且，两式相减并恒等变形得．…（8分）
由H，K在椭圆E上，仿前述方法可得．…（11分）
∵弦AB的中点与弦HK的中点重合，∴m2=2n2，…（12分）
求得椭圆E的离心率，…（13分）
∴椭圆C与椭圆E是相似椭圆．