Question

某工厂欲加工一件艺术品，需要用到三棱锥形状的坯材，工人将如图所示的长方体ABCD-EFGH材料切割成三棱锥H-ACF．

（Ⅰ）若点M，N，K分别是棱HA，HC，HF的中点，点G是NK上的任意一点，求证：MG∥平面ACF；
（Ⅱ）已知原长方体材料中，AB=2m，AD=3m，DH=1m，根据艺术品加工需要，工程师必须求出该三棱锥的高．
（i） 甲工程师先求出AH所在直线与平面ACF所成的角θ，再根据公式h=AH•sinθ求出三棱锥H-ACF的高．请你根据甲工程师的思路，求该三棱锥的高．
（ii）乙工程师设计了一个求三棱锥的高度的程序，其框图如图所示，则运行该程序时乙工程师应输入的t的值是多少？（请直接写出t的值，不要求写出演算或推证的过程）．

Answer

（Ⅰ）证法一：利用线面平行的判定证明MK∥平面ACF，MN∥平面ACF，从而可得平面MNK∥平面ACF，利用面面平行的性质可得MG∥平面ACF；证法二：利用线面平行的判定证明MG∥平面ACF；
（Ⅱ）（i）建立空间直角坐标系，求出平面ACF的一个法向量，求出AH所在直线与平面ACF所成的角θ，再根据公式h=AH•sinθ求出三棱锥H-ACF的高
（ii）t=2．
（Ⅰ）证法一：∵HM=MA，HN=NC，HK=KF，
∴MK∥AF，MN∥AC．∵MK⊄平面ACF，AF⊂平面ACF，
∴MK∥平面ACF，
同理可证MN∥平面ACF，…（3分）
∵MN，MK⊂平面MNK，且MK∩MN=M，
∴平面MNK∥平面ACF，…（4分）
又MG⊂平面MNK，故MG∥平面ACF．…（5分）
证法二：连HG并延长交FC于T，连接AT．
∵HN=NC，HK=KF，
∴KN∥FC，则HG=GT，
又∵HM=MA，∴MG∥AT，…（2分）∵MG⊄平面ACF，AT⊂平面ACF，
∴MG∥平面ACF．…（5分）
（Ⅱ）【解析】
（i）如图，分别以DA，DC，DH所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O-xyz．则有A（3，0，0），C（0，2，0），F（3，2，1），H（0，0，1）．…（6分），．
设平面ACF的一个法向量，
则有，解得，
令y=3，则，…（8分）
∴，…（9分）
∴三棱锥H-ACF的高为．…（10分）
（ii）t=2．…（13分）