Question

选修4-5：不等式选讲
设函数f（x）=|2x-1|-|x+1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）≤0的解集D；
（Ⅱ）若存在实数x∈D使成立，求实数a的取值范围．

Answer

（Ⅰ）利用绝对值的几何意义，分类讨论，化简函数，即可求解不等式；
（Ⅱ）利用柯西不等式，确定的最小值，即可求得实数a的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）当x≤-1时，由f（x）=-x+2≤0，得x≥2，所以x∈∅；
当时，由f（x）=-3x≤0得x≥0，所以；
当时，由f（x）=x-2≤0得x≤2，所以．…（2分）
综上得：不等式f（x）≤0的解集D={x|0≤x≤2}．…（3分）
（Ⅱ）=，…（4分）
由柯西不等式得≤（3+1）（x+（2-x））=8，
∴，…（5分）
当且仅当时取“=”，
∴a的取值范围是．…（7分）