Question

如图所示，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为C₁D₁的中点．
（1）求证：DE⊥平面EBC；
（2）求异面直线AD与EB所成的角的大小（结果用反三角函数表示）．

Answer

（1）先证明EC⊥ED，在利用BC⊥平面CC1D1D，证明BC⊥DE，即可证明DE⊥平面EBC；
（2）先证明∠EBC即为所求异面直线的夹角（或其补角），确定△EBC为直角三角形，从而可求异面直线AD与EB所成的角的大小．
（1）证明：∵直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的侧棱AA1长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为C1D1的中点，
∴EC=ED=，CD=2a
∴EC⊥ED，…（2分）
∵BC⊥平面CC1D1D，DE⊂平面CC1D1D，
∴BC⊥DE，…（4分）
∵BC∩EC=C
∴DE⊥平面EBC，…（7分）
（2）【解析】
∵AD∥BC，
∴∠EBC即为所求异面直线的夹角（或其补角），…（9分）
由BC⊥平面CC1D1D，EC⊂平面CC1D1D，得BC⊥EC，…（11分）
即△EBC为直角三角形，
在直角△EBC中，EC=，BC=a，
∴tan∠EBC==
∴∠EBC=arctan                        …（14分）