Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F₁MF₂是等腰直角三角形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点P是椭圆C上一动点，求线段PM的中点Q的轨迹方程；
（3）过点M分别作直线MA，MB交椭圆于A，B两点，设两直线的斜率分别为k₁，k₂，且k₁+k₂=8，探究：直线AB是否过定点，并说明理由．

Answer

（1）由已知点M（0，2）是椭圆的一个顶点，△F1MF2是等腰直角三角形，可求几何量，从而可求椭圆方程；
（2）确定点P、PM的中点坐标之间的关系，利用点P是椭圆C上一动点，即可求得线段PM的中点Q的轨迹方程；
（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程代入椭圆方程，利用韦达定理及k1+k2=8，可得直线AB的方程，从而可得直线AB过定点；若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x，求出直线AB的方程，即可得到结论．
【解析】
（1）由已知可得 b=2，，…（2分）
∴所求椭圆方程为．                              …（4分）
（2）设点P（x1，y1），PM的中点坐标为Q（x，y），则                     …（6分）
由，得x1=2x，y1=2y-2代入上式得      …（10分）
（3）若直线AB的斜率存在，设AB方程为y=kx+m，依题意m≠±2．
设A（x3，y3），B（x2，y2），则将直线方程代入椭圆方程可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2-8=0．      …（11分）
则，．
∵k1+k2=8，∴+=8，
∴2k+（m-2）×=8．                                …（12分）
∴k-=4，整理得m=．
故直线AB的方程为y=kx+，即y=k（x+）-2．
所以直线AB过定点（，-2）．                            …（14分）
若直线AB的斜率不存在，设AB方程为x=x，
设A（x，y），B（x，-y），
由已知+=8，得x=-．
此时AB方程为x=-，显然过点（，-2）．                            
综上，直线AB过定点（，-2）．                            …（16分）