Question

已知函数f（x）=alnx+x² （a为实常数），e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）在[1，e]上的最小值；
（2）若存在x∈[1，e]，使得不等式f（x）≤（a+2）x成立，求实数a的取值范围．

Answer

（1）求出导函数，通过对导函数为0的根与区间[1，e]的三种关系，判断出函数的单调性，求出函数的极值及端点值，从中选出最小值．
（2）列出不等式有解，分离出参数a，构造函数g（x），通过导数求出g（x）的最小值，令a≥g（x）最大值．
【解析】
（1），当[1，e]，2x2+a∈[a+2，a+2e2]．
①若a≥-2，f′（x）在[1，e]上非负（仅当a=-2，x=1时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是增函数，此时[f（x）]min=f（1）=1．
②若-2e2＜a＜-2，当时，f′（x）=0；当时，f′（x）＜0，此时f（x）
是减函数；当时，f′（x）＞0，此时f（x）是增函数．故=．
③若a≤-2e2，f′（x）在[1，e]上非正（仅当a=-2e2，x=e时，f′（x）=0，故函数f（x）在[1，e]上是减函数，此时[f（x）]min=f（e）=a+e2．
综上可知，
（2）不等式f（x）≤（a+2）x，可化为a（x-lnx）≥x2-2x．
∵x∈[1，e]，∴lnx≤1≤x且等号不能同时取，所以lnx＜x，即x-lnx＞0，
因而
令，又，
当x∈[1，e]时，x-1≥0，lnx≤1，x+2-2lnx＞0，
从而g′（x）≥0（仅当x=1时取等号），所g（x）在[1，e]上为增函数，
故g（x）的最大值为g（e）=，所以a的取值范围是[，+∞）．