Question

某高科技企业研制出一种型号为A的精密数控车床，A型车床为企业创造的价值逐年减少（以投产一年的年初到下一年的年初为A型车床所创造价值的第一年）．若第1年A型车床创造的价值是250万元，且第1年至第6年，每年A型车床创造的价值减少30万元；从第7年开始，每年A型车床创造的价值是上一年价值的50%．现用表示A型车床在第n年创造的价值．
（1）求数列{a_n}（n∈N^*）的通项公式a_n；
（2）记S_n为数列{a_n}的前n项的和，．企业经过成本核算，若T_n＞100万元，则继续使用A型车床，否则更换A型车床．试问该企业须在第几年年初更换A型车床？（已知：若正数数列{b_n}是单调递减数列，则数列也是单调递减数列）．

Answer

（1）依据题意，知a1，a2，…，a6构成首项为a1=250，公差d=-30的等差数列，构成首项为，公比的等比数列，从而可得数列{an}（n∈N*）的通项公式；
（2）由（1）知，{an}是单调递减数列，于是，数列{Tn}也是单调递减数列，先判断Tn＞100（1≤n≤6），再判断当n=11时，T11＞104（万元）；当n=12时，T12＜96（万元），从而可得结论．
【解析】
（1）依据题意，知a1，a2，…，a6构成首项为a1=250，公差d=-30的等差数列．
故（万元）．       （3分）
构成首项为，公比的等比数列．
因此，（万元）． （6分）
于是，（万元）． （7分）
（2）由（1）知，{an}是单调递减数列，于是，数列{Tn}也是单调递减数列．
∵（万元），（万元），
∴Tn＞100（1≤n≤6）．
∴当n≥7时，
==（万元）．     （9分）
当n=11时，T11＞104（万元）；当n=12时，T12＜96（万元）．      （13分）
∴当n≥12，n∈N*时，恒有Tn＜96．
∴该企业需要在第11年年初更换A型车床． （14分）