Question

已知定点F（2，0），直线l：x=2，点P为坐标平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为点Q，且．设动点P的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点F的直线l₁与曲线C有两个不同的交点A、B，求证：+=；
（3）记与的夹角为θ（O为坐标原点，A、B为（2）中的两点），求cosθ的取值范围．

Answer

（1）确定向量的坐标，利用，得=0，由此可求曲线C的方程；
（2）设直线l1的方程为x=my+2与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合+=+，即可证得结论；
（3）确定=（x1，y1），=（x2，y2），利用，可求cosθ的取值范围．
（1）【解析】
设点P的坐标为（x，y）．                                    （1分）
由题意，可得Q（-2，y），=（-4，y），=（2-x，-y），=（-2-x，0）．（3分）
由，得=0，即（-4，y）•（-2x，-y）=0
∴y2=8x（x≥0）．    （6分）
∴所求曲线C的方程为y2=8x（x≥0）．    
（2）证明：因为过点F的直线l1与曲线C有两个不同的交点A、B，所以l1的斜率不为零，
故设直线l1的方程为x=my+2．                                （7分）
于是A、B的坐标（x1，y1）、（x2，y2）为方程组的实数解．
消x并整理得y2-8my-16=0．                            （8分）
于是y1+y2=8m，y1y2=-16，
∴x1+x2=8m2+4，x1x2=4，（10分）
又因为曲线y2=8x（x≥0）的准线为x=-2，
所以+=+==，得证． （12分）
（3）【解析】
由（2）可知，=（x1，y1），=（x2，y2）．
∴==（当且仅当m=0时，等号成立）． （16分）
∴cosθ的取值范围为[-，0）．                    （18分）