Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD=DE=2AB，F为CD的中点．
（1）求证：AF∥平面BCE；
（2）求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．

Answer

（1）设AD=DE=2AB=2a，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，利用向量的坐标运算得出，AF⊄平面BCE，AF∥平面BCE．
（2）求出平面BCE的一个法向量，利用和的夹角求解即可．
（1）证明：设AD=DE=2AB=2a，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，则
A（0，0，0），C（2a，0，0），B（0，0，a），D（a，a，0），E（a，a，2a），．
∵F为CD的中点，∴F（）．（2分）
=（）．
=（a，a，a），
=（2a，0，-a），
∵，AF⊄平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（2）【解析】
设平面BCE的法向量为=（x，y，z），由可得：
，取x=1，则=（1，，2），（8分）
又=（），设BF和平面BCE所成的角为θ，
则sin==．
∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为．（12分）