Question

设数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，对任意的n∈N^*，a_n+2是a_n+1与a_n的等差中项．
（1）设b_n=a_n+1-a_n，证明数列{b_n}是等比数列，并求出其通项公式；
（2）写出数列{a_n}的通项公式（不要求计算过程），求数列{a_n}中的最大项．

Answer

（1）根据an+2是an+1与an的等差中项，可得2an+2=an+1+an，整理可得an+2-an=-（an+1-an），利用bn=an+1-an，可得数列{bn}是首项为1，公比为-的等比数列，从而可求通项公式；
（2）利用叠加法可求数列{an}的通项公式，由（1），bn=an+1-an=，可得当n为偶数时，an+1＜an；当n为奇数时，an+1＞an，于是可得数列{an}中的最大项必在数列的偶数项中产生，确定数列{a2n}为单调递减数列，即可求得数列{an}中的最大项．
（1）证明：∵an+2是an+1与an的等差中项
∴2an+2=an+1+an，
∴an+2-an=-（an+1-an）
∵bn=an+1-an，∴bn+1=-bn，
∵b1=a2-a1，a1=1，a2=2，
∴b1=1，∴数列{bn}是首项为1，公比为-的等比数列，
∴bn=；
（2）【解析】
∵an=a1+（a2-a1）+…+（an-an-1）=1+b1+…+bn-1=1+=
由（1），bn=an+1-an=
∴当n为偶数时，an+1-an＜0，∴an+1＜an；当n为奇数时，an+1-an＞0，∴an+1＞an，
于是可得数列{an}中的最大项必在数列的偶数项中产生
∵a2n+2-a2n=×＜0
∴a2n+2＜a2n，
∴数列{a2n}为单调递减数列
∴数列{an}中的最大项为=2．