Question

已知椭圆C₁：的离心率为，椭圆上一点到一个焦点的最大值为3，圆，点A是椭圆上的顶点，点P是椭圆C₁上不与椭圆顶点重合的任意一点．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）若直线AP与圆C₂相切，求点P的坐标；
（3）若点M是椭圆C₁上不与椭圆顶点重合且异于点P的任意一点，点M关于x轴的对称点是点N，直线MP，NP分别交x轴于点E（x₁，0），点F（x₂，0），探究x₁•x₂是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，请说明理由．

Answer

（1）根据的离心率为，椭圆上一点到一个焦点的最大值为3，建立方程组，即可求得椭圆C1的方程；
（2）设直线AP的方程为kx-y+=0，利用直线AP与圆C2相切，求得直线的斜率，从而可得点P的坐标；
（3）设M、P、N的坐标，利用M，P，E三点共线，N，P，F三点共线，结合M，P在椭圆上，即可求得x1•x2是定值．
【解析】
（1）由题意，，∴a=2，c=1，∴b2=a2-c2=3，∴椭圆C1的方程为；
（2）由（1）知A（0，），且直线AP的斜率存在，设其斜率为k，则直线AP的方程为kx-y+=0
圆C2的圆心坐标为（-4，），半径为2
∵直线AP与圆C2相切，
∴=2
∴
k=时，直线方程代入椭圆方程可得5x2+8x=0，∴x=0或x=-，∴点P的坐标为（-，-）
同理可得k=-时，点P的坐标为（，-）；
（3）设M（x3，y3），P（x4，y4），则N（x3，-y3），
由M，P，E三点共线，可得=，∴
同理由N，P，F三点共线，可得
∵M，P在椭圆上，∴，
∴x1•x2=×=4
∴x1•x2是定值，定值为4．