Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，a₂=4，a_n+1=3a_n-2a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记，数列{b_n}的前n项和为S_n，求使S_n＞2010的n的最小值．

Answer

（1）欲证数列{an+1-an}是等比数列，利用等比数列的定义，只需证 （n≥2）是个非零常数．
（2）利用（1）的结论求出bn，然后求出数列{bn}的前n项和为Sn，通过对不等式的分析，探讨使Sn＞2010的n的最小值．
【解析】
（I）∵an+1=3an-2an-1（n≥2）
∴（an+1-an）=2（an-an-1）（n≥2）
∵a1=2，a2=4∴a2-a1=2≠0，∴an+1-an≠0
故数列{an+1-an}是公比为2的等比数列
∴an+1-an=（a2-a1）2n-1=2n
∴an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+（an-2-an-3）++（a2-a1）+a1
=2n-1+2n-2+2n-3++21+2
==2n（n≥2）
又a1=2满足上式，
∴an=2n（n∈N*）
（II）由（I）知=
∴
=
=
=
由Sn＞2010得：，
即，因为n为正整数，所以n的最小值为1006