Question

已知直线x+y-1=0与椭圆相交于A，B两点，线段AB中点M在直线上．
（1）求椭圆的离心率；（2）若椭圆右焦点关于直线l的对称点在单位圆x²+y²=1上，求椭圆的方程．

Answer

（Ⅰ）设出A、B两点的坐标，联立直线与椭圆的方程得关于x的一元二次方程；由根与系数的关系，可得x1+x2，
y1+y2；从而得线段AB的中点坐标，代入直线l的方程，得出a、c的关系，从而求得椭圆的离心率．
（Ⅱ）设椭圆的右焦点坐标为F（b，0），F关于直线l的对称点为（x，y），则由互为对称点的连线被对称轴垂直平分，可得方程组，解得x、y；代入圆的方程 x2+y2=1，得出b的值，从而得椭圆的方程．
【解析】
（1）设A，B两点的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），
由得：（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0．…（1分）
△=-（2a2）2-（a2+b2）（a2-a2b2）＞0，即a2+b2＞1．…（2分）
x1+x2=，y1+y2=-（ x1+x2）+2=，
∴点M的坐标为（，）．…（4分）
又点M在直线l上，
∴-=0，
∴a2=2b2=2（a2-c2），∴a2=2c2，
∴．…（6分）
（2）由（1）知b=c，设椭圆的右焦点F（b，0）关于直线l：的对称点为（x，y），
由，解得…（10分）
∵x2+y2=1，
∴，
∴b2=1，显然有a2+b2=3＞1．…（12分）
∴所求的椭圆的方程为．…（14分）